સરવાળાની મર્યાદા તરીકે $\int_{0}^{2} e^{x} dx$ ની કિંમત શોધો.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નિશ્ચિત સંકલન $\int_{a}^{b} f(x) dx = (b-a) \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f(a + r\frac{b-a}{n})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a=0, b=2, f(x)=e^x$,તેથી $\int_{0}^{2} e^x dx = (2-0) \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} e^{0 + r\frac{2}{n}} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} (e^{2/n})^r$.
આ $n$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $e^{2/n}$ છે.
સરવાળો $\frac{1( (e^{2/n})^n - 1 )}{e^{2/n} - 1} = \frac{e^2 - 1}{e^{2/n} - 1}$ થાય છે.
આમ,$\int_{0}^{2} e^x dx = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{e^2 - 1}{e^{2/n} - 1} \right) = 2(e^2 - 1) \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{e^{2/n} - 1}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2(e^2 - 1) \lim_{n \to \infty} \frac{2/n}{2(e^{2/n} - 1)} = (e^2 - 1) \lim_{h \to 0} \frac{h}{e^h - 1}$ મળે છે,જ્યાં $h = 2/n$.
કારણ કે $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$,તેથી પરિણામ $e^2 - 1$ છે.