$6x^2 + 17x + 5$ का मध्य पद को विभाजित करके और गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके गुणनखंड कीजिए।

(N/A) हल $1:$ (मध्य पद को विभाजित करने की विधि)
हमें दो ऐसी संख्याएँ $p$ और $q$ ज्ञात करनी हैं कि $p + q = 17$ और $pq = 6 \times 5 = 30$ हो।
$30$ के गुणनखंड $(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6)$ हैं।
इनमें से,$2 + 15 = 17$ होता है।
अतः,$6x^2 + 17x + 5 = 6x^2 + 2x + 15x + 5$
$= 2x(3x + 1) + 5(3x + 1)$
$= (3x + 1)(2x + 5)$.
हल $2:$ (गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके)
माना $p(x) = 6x^2 + 17x + 5 = 6(x^2 + \frac{17}{6}x + \frac{5}{6})$ है।
माना $a$ और $b$ द्विघात व्यंजक के शून्यक हैं। तब $ab = \frac{5}{6}$ होगा।
संभावित परिमेय मूल $\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{2}, \pm 1$ हैं।
$p(-\frac{1}{3}) = 6(-\frac{1}{3})^2 + 17(-\frac{1}{3}) + 5 = 6(\frac{1}{9}) - \frac{17}{3} + 5 = \frac{2}{3} - \frac{17}{3} + \frac{15}{3} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x + \frac{1}{3})$ एक गुणनखंड है।
$p(-\frac{5}{2}) = 6(-\frac{5}{2})^2 + 17(-\frac{5}{2}) + 5 = 6(\frac{25}{4}) - \frac{85}{2} + 5 = \frac{75}{2} - \frac{85}{2} + \frac{10}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x + \frac{5}{2})$ एक गुणनखंड है।
इसलिए,$6x^2 + 17x + 5 = 6(x + \frac{1}{3})(x + \frac{5}{2}) = 6(\frac{3x+1}{3})(\frac{2x+5}{2}) = (3x + 1)(2x + 5)$.