अंतराल $[0,3]$ पर $3x^{4}-8x^{3}+12x^{2}-48x+25$ का अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

(A) माना $f(x) = 3x^{4}-8x^{3}+12x^{2}-48x+25$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f'(x) = 12x^{3}-24x^{2}+24x-48$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $12(x^{3}-2x^{2}+2x-4) = 0$.
त्रिघात बहुपद का गुणनखंड करने पर: $12[x^{2}(x-2)+2(x-2)] = 0$,जो $12(x-2)(x^{2}+2) = 0$ देता है।
अंतराल $[0,3]$ में एकमात्र वास्तविक क्रांतिक बिंदु $x=2$ है।
अब,क्रांतिक बिंदु और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$x=0$ पर: $f(0) = 3(0)^{4}-8(0)^{3}+12(0)^{2}-48(0)+25 = 25$.
$x=2$ पर: $f(2) = 3(2)^{4}-8(2)^{3}+12(2)^{2}-48(2)+25 = 3(16)-8(8)+12(4)-96+25 = 48-64+48-96+25 = -39$.
$x=3$ पर: $f(3) = 3(3)^{4}-8(3)^{3}+12(3)^{2}-48(3)+25 = 3(81)-8(27)+12(9)-144+25 = 243-216+108-144+25 = 16$.
इन मानों की तुलना करने पर: $25, -39, 16$.
अधिकतम मान $25$ ($x=0$ पर) है और न्यूनतम मान $-39$ ($x=2$ पर) है।