$f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 12$ द्वारा दिए गए फलन $f$ के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 12$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करने पर $f'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x$ प्राप्त होता है।
अवकलज का गुणनखंड करने पर,$f'(x) = 12x(x^2 + x - 2) = 12x(x - 1)(x + 2)$ मिलता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x = 0, x = 1, x = -2$ प्राप्त होते हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = 36x^2 + 24x - 24$ ज्ञात करें।
क्रांतिक बिंदुओं पर द्वितीय अवकलज का मान जाँचने पर:
$f''(0) = -24 < 0$,अतः $x = 0$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है। स्थानीय उच्चतम मान $f(0) = 12$ है।
$f''(1) = 36(1)^2 + 24(1) - 24 = 36 > 0$,अतः $x = 1$ स्थानीय निम्नतम का बिंदु है। स्थानीय निम्नतम मान $f(1) = 3(1)^4 + 4(1)^3 - 12(1)^2 + 12 = 7$ है।
$f''(-2) = 36(-2)^2 + 24(-2) - 24 = 72 > 0$,अतः $x = -2$ स्थानीय निम्नतम का बिंदु है। स्थानीय निम्नतम मान $f(-2) = 3(-2)^4 + 4(-2)^3 - 12(-2)^2 + 12 = -20$ है।