दीर्घवृत्त frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{ | vedclass

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Question

(B) दीर्घवृत्त और कोटियों $x=0$ तथा $x=ae$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $x$-अक्ष के परितः सममित है।
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{ae} y \, dx$ द्

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$ab[e\sqrt{1-e^{2}}+\sin^{-1}e]$

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(B) दीर्घवृत्त और कोटियों $x=0$ तथा $x=ae$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $x$-अक्ष के परितः सममित है।
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{ae} y \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
दीर्घवृत्त के समीकरण से,$y = \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = 2 \frac{b}{a} \int_{0}^{ae} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx$ प्राप्त होता है।
मानक समाकलन $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$A = \frac{2b}{a} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) \right]_{0}^{ae}$
$A = \frac{2b}{a} \left[ \frac{ae}{2} \sqrt{a^{2}-a^{2}e^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{ae}{a}) - (0 + 0) \right]$
$A = \frac{2b}{a} \left[ \frac{ae}{2} \cdot a\sqrt{1-e^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(e) \right]$
$A = \frac{2b}{a} \cdot \frac{a^{2}}{2} \left[ e\sqrt{1-e^{2}} + \sin^{-1}(e) \right]$
$A = ab[e\sqrt{1-e^{2}} + \sin^{-1}(e)]$.

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ और कोटियों $x=0$ तथा $x=ae$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए,जहाँ $b^{2}=a^{2}(1-e^{2})$ और $e < 1$ है।

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