वक्र $y=\cos(x+y)$ के लिए $-2\pi \leq x \leq 2\pi$ अंतराल में उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x+2y=0$ के समांतर हैं।

(A) दिया गया वक्र $y = \cos(x+y)$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\sin(x+y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} (1 + \sin(x+y)) = -\sin(x+y)$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)}$।
चूंकि स्पर्श रेखा $x+2y=0$ के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
अवकलज को ढाल के बराबर रखने पर: $-\frac{\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)} = -\frac{1}{2} \Rightarrow 2\sin(x+y) = 1 + \sin(x+y) \Rightarrow \sin(x+y) = 1$।
चूंकि $\sin(x+y) = 1$,इसलिए $\cos(x+y) = 0$ होगा। $y = \cos(x+y)$ दिया गया है,अतः $y = 0$ प्राप्त होता है।
$y=0$ को मूल समीकरण में रखने पर: $0 = \cos(x+0) \Rightarrow \cos(x) = 0$।
$-2\pi \leq x \leq 2\pi$ के लिए,हल $x = \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}$ हैं।
$\sin(x+y) = 1$ की जाँच करने पर: $x = \frac{\pi}{2}, y=0$ के लिए,$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ (मान्य)। $x = -\frac{3\pi}{2}, y=0$ के लिए,$\sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$ (मान्य)। अन्य बिंदु अमान्य हैं।
स्पर्श बिंदु $(\frac{\pi}{2}, 0)$ और $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$ हैं।
$(\frac{\pi}{2}, 0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}) \Rightarrow 2x + 4y - \pi = 0$।
$(-\frac{3\pi}{2}, 0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - 0 = -\frac{1}{2}(x + \frac{3\pi}{2}) \Rightarrow 2x + 4y + 3\pi = 0$।