उस समतल का सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $(5, 2, -4)$ से होकर गुजरता है और $2, 3, -1$ दिक-अनुपात वाली रेखा के लंबवत है।

(D) बिंदु $(5, 2, -4)$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
चूंकि समतल $2, 3, -1$ दिक-अनुपात वाली रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{N} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ होगा।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{N}$ के लंबवत समतल का सदिश समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{N} = 0$ होता है।
मान रखने पर,$(\vec{r} - (5\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k})) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 0$ प्राप्त होता है।
कार्तीय समीकरण ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
अतः $((x - 5)\hat{i} + (y - 2)\hat{j} + (z + 4)\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 0$ होगा।
इसे सरल करने पर $2(x - 5) + 3(y - 2) - 1(z + 4) = 0$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$2x - 10 + 3y - 6 - z - 4 = 0$,जिसका परिणाम $2x + 3y - z = 20$ है।