0

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \ln(e^{\cos x}) \, d(\sin x)$.કારણ કે $\ln(e^{\cos x}) = \cos x$,તેથી સંકલન $I = \int_{\frac{

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{12}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \ln(e^{\cos x}) \, d(\sin x)$.કારણ કે $\ln(e^{\cos x}) = \cos x$,તેથી સંકલન $I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cos x \, d(\sin x)$ થશે.આપણે જાણીએ છીએ કે $d(\sin x) = \cos x \, dx$.જ્યારે $\sin x = \frac{1}{2}$,ત્યારે $x = \frac{\pi}{6}$.જ્યારે $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$,ત્યારે $x = \frac{\pi}{3}$.આ કિંમતો મૂકતા,$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x (\cos x \, dx) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 x \, dx$.નિત્યસમ $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$.$I = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{3} + \frac{\sin(2\pi/3)}{2}) - (\frac{\pi}{6} + \frac{\sin(\pi/3)}{2})]$.$I = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) - (\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4})] = \frac{1}{2} [\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}] = \frac{1}{2} [\frac{\pi}{6}] = \frac{\pi}{12}$.

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે,સંકલન $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \ln(e^{\cos x}) \, d(\sin x)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

$\int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx =$

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1+x^{2}}$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-1}^{2}\left|x^{3}-x\right| d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{|x|}}$ નું મૂલ્ય શું છે?

નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{0}^{1} \left(1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \infty\right) e^{2x} \, dx$.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module