કોઈપણ બે સંકર સંખ્યાઓ $z_{1}$ અને $z_{2}$ માટે સાબિત કરો કે $\operatorname{Re}(z_{1} z_{2})=\operatorname{Re} z_{1} \operatorname{Re} z_{2}-\operatorname{Im} z_{1} \operatorname{Im} z_{2}.$

ધારો કે $z_{1}=x_{1}+i y_{1}$ અને $z_{2}=x_{2}+i y_{2}.$
તેથી,$z_{1} z_{2}=(x_{1}+i y_{1})(x_{2}+i y_{2}).$
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા,$z_{1} z_{2}=x_{1} x_{2}+i x_{1} y_{2}+i y_{1} x_{2}+i^{2} y_{1} y_{2}.$
$i^{2}=-1$ હોવાથી,$z_{1} z_{2}=x_{1} x_{2}+i x_{1} y_{2}+i y_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}.$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા,$z_{1} z_{2}=(x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2})+i(x_{1} y_{2}+y_{1} x_{2}).$
તેથી વાસ્તવિક ભાગ $\operatorname{Re}(z_{1} z_{2})=x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}.$
અહીં $\operatorname{Re} z_{1}=x_{1}, \operatorname{Re} z_{2}=x_{2}, \operatorname{Im} z_{1}=y_{1},$ અને $\operatorname{Im} z_{2}=y_{2}$ હોવાથી,
$\operatorname{Re}(z_{1} z_{2})=\operatorname{Re} z_{1} \operatorname{Re} z_{2}-\operatorname{Im} z_{1} \operatorname{Im} z_{2}$ સાબિત થાય છે.