$x$ ના કેટલા ભિન્ન મૂલ્યો માટે સમીકરણ $\sin [2 \cos^{-1} \cot (2 \tan^{-1} x)] = 0$ સાચું છે?

સાબિત કરો કે $\cos ^{-1} \frac{12}{13}+\sin ^{-1} \frac{3}{5}=\sin ^{-1} \frac{56}{65}$

અસમતા $(\tan^{-1} x)(\cot^{-1} x) - (\tan^{-1} x)(1 + \frac{\pi}{2}) - 2\cot^{-1} x + 2(1 + \frac{\pi}{2}) > \lim_{x \to \infty} [\sec^{-1} x - \frac{\pi}{2}]$ નો ઉકેલ ગણ શોધો (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે):

$\lim _{n \rightarrow \infty} \tan \left\{\sum_{r=1}^{n} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+r+r^{2}}\right)\right\}$ ની કિંમત .......... છે.

ધારો કે $Z$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ છે. તો યાદી-$I$ માંની વસ્તુઓને યાદી-$II$ માંની વસ્તુઓ સાથે જોડો.

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$A$. $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)+\sin ^{-1} \frac{1}{3}$	$I$. $k \pi \pm(-1)^k \frac{\pi}{6}, k \in Z$
$B$. $\sin ^{-1}\left(\frac{(-1)^n}{2}\right), n \in Z$	$II$. $k \pi \pm 1, k \in Z$
$C$. $\tan ^{-1}\left(\sec \frac{\pi}{4}+\tan \frac{\pi}{4}\right)$	$III$. $\frac{3}{2}$
$D$. $\sin ^{-1}|\sin x|=\sqrt{\sin ^{-1}|\sin x|} \Rightarrow x \in$	$IV$. $\frac{3 \pi}{8}$
	$V$. $\frac{\pi}{2}$

સાચી જોડ પસંદ કરો:

$x$ ની કિંમત શોધો, જ્યાં $x>0$ અને $\tan \left(\sec ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\sin \left(\tan ^{-1} 2\right)$ છે.