ચાર પાસાઓને એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે અને આ પાસાઓ પર દેખાતી સંખ્યાઓને $2 \times 2$ શ્રેણિકોમાં નોંધવામાં આવે છે. આ રીતે બનેલા શ્રેણિકોના તમામ ઘટકો અલગ હોય અને તે અસામાન્ય (nonsingular) હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

જો $A = \int\limits_1^{\sin \theta } {\frac{t}{{1 + {t^2}}}} dt$ અને $B = \int\limits_1^{\csc \theta } {\frac{dt}{{t\left( {1 + {t^2}} \right)}}} $,(જ્યાં $\theta \in \left( {0, \frac{\pi }{2}} \right)$),તો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & { - B} \\ {{e^{A + B}}} & {{B^2}} & { - 1} \\ 1 & {{A^2} + {B^2}} & { - 1} \end{array}} \right|$ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ હોય, તો $A^3 - 4A^2 - 6A$ ની કિંમત શોધો.

જો $A = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \cos \beta \sin \beta \\ \cos \beta \sin \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$ બે શ્રેણિકો એવા છે કે તેમનો ગુણાકાર $AB$ શૂન્ય શ્રેણિક છે,તો $\alpha - \beta$ શું થાય?

ધારો કે $x \in R$ અને $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$,$Q = \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 6 \end{bmatrix}$ અને $R = PQP^{-1}$ છે. તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $x = 1$ માટે,એક એવો એકમ સદિશ $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના માટે $R \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ થાય.
$(2)$ એક એવી વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $PQ = QP$ થાય.
$(3)$ $\det R = \det \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 5 \end{bmatrix} + 8$,તમામ $x \in R$ માટે.
$(4)$ $x = 0$ માટે,જો $R \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = 6 \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$ હોય,તો $a + b = 5$.

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ અને $A^3 = (aA - I)(bA - I)$,જ્યાં $a, b$ પૂર્ણાંકો છે અને $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે,તો $(a + b)$ ની કિંમત કેટલી થાય?