एक समबाहु त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित एक बिंदु से तीनों भुजाओं पर लंब डाले गए हैं। लंबों की लंबाई $14 \, cm$,$10 \, cm$ और $6 \, cm$ है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(D) माना $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई $a$ है। माना $O$ एक आंतरिक बिंदु है,और $O$ से भुजाओं $AB$,$BC$ और $AC$ पर डाले गए लंब क्रमशः $h_1 = 14 \, cm$,$h_2 = 10 \, cm$ और $h_3 = 6 \, cm$ हैं।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta OAB$,$\Delta OBC$ और $\Delta OAC$ के क्षेत्रफलों का योग है।
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times 14 = 7a \, cm^2$.
$\Delta OBC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times 10 = 5a \, cm^2$.
$\Delta OAC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times 6 = 3a \, cm^2$.
कुल क्षेत्रफल $= 7a + 5a + 3a = 15a \, cm^2$.
हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है।
दोनों सूत्रों की तुलना करने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 15a$
चूँकि $a \neq 0$,$a$ से भाग देने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a = 15$
$a = \frac{15 \times 4}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \, cm$.
अब,$a = 20\sqrt{3}$ को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= 15 \times (20\sqrt{3}) = 300\sqrt{3} \, cm^2$.
अतः,समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $300\sqrt{3} \, cm^2$ है।