$3 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके एक बढ़ाए गए व्यास पर केंद्र से $7 \, cm$ की दूरी पर दो बिंदु $P$ और $Q$ लीजिए। इन दो बिंदुओं $P$ और $Q$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए। रचना का औचित्य भी दीजिए।

(N/A) दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना इस प्रकार की जा सकती है:
$1.$ समतल पर किसी बिंदु $O$ को केंद्र मानकर $3 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
$2.$ इसका एक व्यास लीजिए और इसे दोनों ओर बढ़ाइए। इस व्यास पर दो बिंदु $P$ और $Q$ इस प्रकार लीजिए कि $OP = OQ = 7 \, cm$ हो।
$3.$ $OP$ और $OQ$ का समद्विभाजन कीजिए। मान लीजिए कि $T$ और $U$ क्रमशः $OP$ और $OQ$ के मध्य-बिंदु हैं।
$4.$ $T$ और $U$ को केंद्र मानकर और $TO$ तथा $UO$ को त्रिज्या मानकर,दो वृत्त खींचिए। ये दो वृत्त मूल वृत्त को क्रमशः $V, W$ और $X, Y$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेंगे। $PV, PW, QX$ और $QY$ को मिलाइए। ये अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $PV, PW, QX$ और $QY$ वृत्त (जिसका केंद्र $O$ और त्रिज्या $3 \, cm$ है) की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसके लिए,$OV, OW, OX$ और $OY$ को मिलाइए।
$\angle PVO$ अर्धवृत्त में बना कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
$\therefore \angle PVO = 90^{\circ}$
$\Rightarrow OV \perp PV$
चूँकि $OV$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $PV$ वृत्त की स्पर्श रेखा होनी चाहिए।
इसी प्रकार,यह दिखाया जा सकता है कि $PW, QX$ और $QY$ भी वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।