दिया गया है कि त्रिघात बहुपद $x^{3}-6x^{2}+3x+10$ के शून्यक $a, a+b, a+2b$ के रूप में हैं,जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं। $a$ और $b$ के मान तथा बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए।

(A) माना $f(x) = x^{3}-6x^{2}+3x+10$ है।
दिया गया है कि $a, (a+b),$ और $(a+2b)$ बहुपद $f(x)$ के शून्यक हैं।
शून्यकों का योग $= -\frac{x^{2} \text{ का गुणांक}}{x^{3} \text{ का गुणांक}} = -\frac{-6}{1} = 6$.
अतः,$a + (a+b) + (a+2b) = 6 \Rightarrow 3a + 3b = 6 \Rightarrow a+b = 2 \Rightarrow b = 2-a \dots (i)$.
शून्यकों का गुणनफल $= -\frac{\text{अचर पद}}{x^{3} \text{ का गुणांक}} = -\frac{10}{1} = -10$.
अतः,$a(a+b)(a+2b) = -10$.
$a+b=2$ और $b=2-a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $a(2)(a+2(2-a)) = -10$.
$2a(a+4-2a) = -10 \Rightarrow 2a(4-a) = -10 \Rightarrow 8a - 2a^{2} = -10$.
$2a^{2} - 8a - 10 = 0 \Rightarrow a^{2} - 4a - 5 = 0$.
$(a-5)(a+1) = 0$.
इस प्रकार,$a = 5$ या $a = -1$.
यदि $a = 5$,तो $b = 2-5 = -3$. शून्यक $5, 5-3, 5-6$ अर्थात $5, 2, -1$ हैं।
यदि $a = -1$,तो $b = 2-(-1) = 3$. शून्यक $-1, -1+3, -1+6$ अर्थात $-1, 2, 5$ हैं।
अतः,मान $(a=5, b=-3)$ या $(a=-1, b=3)$ हैं और शून्यक $-1, 2, 5$ हैं।