यदि $f(x) = \begin{cases} mx^2 + n, & x < 0 \\ nx + m, & 0 \leq x \leq 1 \\ nx^3 + m, & x > 1 \end{cases}$ है,तो किन पूर्णांकों $m$ और $n$ के लिए $\lim_{x \to 0} f(x)$ और $\lim_{x \to 1} f(x)$ का अस्तित्व है?

(A) $\lim_{x \to 0} f(x)$ के अस्तित्व के लिए,$x = 0$ पर बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (mx^2 + n) = m(0)^2 + n = n$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (nx + m) = n(0) + m = m$
अतः,$\lim_{x \to 0} f(x)$ का अस्तित्व है यदि $m = n$ हो।
$\lim_{x \to 1} f(x)$ के अस्तित्व के लिए,$x = 1$ पर बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (nx + m) = n(1) + m = n + m$
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (nx^3 + m) = n(1)^3 + m = n + m$
चूंकि $n + m = n + m$,इसलिए $\lim_{x \to 1} f(x)$ का अस्तित्व सभी पूर्णांकों $m$ और $n$ के लिए है।
अतः,दोनों सीमाओं के अस्तित्व के लिए शर्त $m = n$ है।