यदि operatorname{gcd}(m, n) = 1 और 1^2 - 2^2 | vedclass

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Question

(B) दी गई व्यंजक $S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \ldots + (2021^2 - 2022^2) + 2023^2$ है। $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $S

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$240$

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(B) दी गई व्यंजक $S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \ldots + (2021^2 - 2022^2) + 2023^2$ है। $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $S = (1 - 2)(1 + 2) + (3 - 4)(3 + 4) + \ldots + (2021 - 2022)(2021 + 2022) + 2023^2$. $S = -1(1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + 2022) + 2023^2$. प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है,अतः: $S = -\frac{2022 	imes 2023}{2} + 2023^2$. $S = -1011 	imes 2023 + 2023^2$. $S = 2023(2023 - 1011) = 2023 	imes 1012$. दिया गया है $1012 m^2 n = 2023 	imes 1012$,जिससे $m^2 n = 2023$ प्राप्त होता है। चूंकि $2023 = 17^2 	imes 7$,इसलिए $m = 17$ और $n = 7$ है। अतः,$m^2 - n^2 = 17^2 - 7^2 = 289 - 49 = 240$.

यदि $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$ और $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (2021)^2 - (2022)^2 + (2023)^2 = 1012 m^2 n$ है,तो $m^2 - n^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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