જો y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}+2y=sin(2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=2$ અને $Q=\sin(2x)$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx}

Vedclass · Accepted Answer

$e^{-\pi/4}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=2$ અને $Q=\sin(2x)$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y \cdot e^{2x} = \int e^{2x} \sin(2x) dx + C$.સૂત્ર $\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \sin(bx) - b \cos(bx))$ નો ઉપયોગ કરતા:$y \cdot e^{2x} = \frac{e^{2x}}{2^2+2^2} (2 \sin(2x) - 2 \cos(2x)) + C = \frac{e^{2x}}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + C$.$y(0) = \frac{3}{4}$ આપેલ હોવાથી,$x=0$ અને $y=\frac{3}{4}$ મૂકતા:$\frac{3}{4} \cdot e^0 = \frac{e^0}{4} (\sin(0) - \cos(0)) + C \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{1}{4} (0 - 1) + C \Rightarrow \frac{3}{4} = -\frac{1}{4} + C \Rightarrow C = 1$.તેથી,$y \cdot e^{2x} = \frac{e^{2x}}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + 1$,જેનું સાદું રૂપ $y = \frac{1}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + e^{-2x}$ થાય છે.હવે,$x = \frac{\pi}{8}$ માટે કિંમત શોધતા:$y\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{4} (\sin(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4})) + e^{-2(\frac{\pi}{8})} = \frac{1}{4} (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) + e^{-\pi/4} = 0 + e^{-\pi/4} = e^{-\pi/4}$.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+2y=\sin(2x)$ નો ઉકેલ હોય અને $y(0)=\frac{3}{4}$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{8}\right)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(x+2y^3) \frac{dy}{dx} - y = 0, y > 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $dx = (2x + 3y - 4) dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y - x + xy \cot x = 0$ $(x \neq 0)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $x(1 - x^2)dy + (2x^2y - y - ax^3)dx = 0$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) $e^{\int Pdx}$ હોય,તો $P$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module