यदि int frac{1}{a^2 sin^2 x + b^2 cos^2 x} dx | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ है।अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर,$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{a^2 \

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$\sqrt{40}$

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(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ है।अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर,$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{a^2 	an^2 x + b^2}$ प्राप्त होता है।माना $u = 	an x$,तब $du = \sec^2 x dx$ होगा।समाकलन $I = \int \frac{du}{a^2 u^2 + b^2} = \frac{1}{a^2} \int \frac{du}{u^2 + (b/a)^2}$ हो जाता है।सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + k^2} = \frac{1}{k} 	an^{-1}(\frac{x}{k}) + C$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{a}{b} 	an^{-1}(\frac{u}{b/a}) + C = \frac{1}{ab} 	an^{-1}(\frac{a}{b} 	an x) + C$ प्राप्त होता है।इसे दिए गए व्यंजक $\frac{1}{12} 	an^{-1}(3 	an x) + C$ के साथ तुलना करने पर,$ab = 12$ और $\frac{a}{b} = 3$ प्राप्त होता है।$\frac{a}{b} = 3$ से,$a = 3b$ मिलता है। $ab = 12$ में मान रखने पर,$(3b)b = 12 \implies 3b^2 = 12 \implies b^2 = 4 \implies b = 2$ ($a, b > 0$ मानते हुए)।अतः $a = 3(2) = 6$ है।अब $6 \sin x + 2 \cos x$ का अधिकतम मान $A \sin x + B \cos x$ के सूत्र $\sqrt{A^2 + B^2}$ के अनुसार $\sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$ होगा।

यदि $\int \frac{1}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x} dx = \frac{1}{12} \tan^{-1}(3 \tan x) + C$ है,तो $a \sin x + b \cos x$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:

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$\int x^{2} [ \sqrt{2} \sin ( \frac{\pi}{4} + x ) + e^{x} ] dx =$

$\int \frac{\cos 2 x \cdot \sin 4 x}{\cos ^4 x\left(1+\cos ^2 2 x\right)} d x=$

यदि $f(x) = \frac{\sin^2 \pi x}{1+\pi^x}$ है,तो $\int (f(x) + f(-x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int e^{2 x}\left[\cos (3 x+4)+5 x^2\right] d x=$

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