यदि f(x)=int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt सभी x i | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x)=\int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt$.कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$f^{\prime}(x)=e^{x^2}(x-2)(x-3)$.क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f

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$(A, B, C, D)$

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(C) दिया गया है $f(x)=\int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt$.कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$f^{\prime}(x)=e^{x^2}(x-2)(x-3)$.क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f^{\prime}(x)=0$ रखने पर,हमें $x=2$ और $x=3$ प्राप्त होते हैं।$f^{\prime}(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:$x  0$ (वर्धमान)।$2 $x > 3$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ (वर्धमान)।अतः,$f$ का $x=2$ पर स्थानीय उच्चतम और $x=3$ पर स्थानीय निम्नतम मान है। यह सिद्ध करता है कि $(A), (B)$ और $(D)$ सही हैं।अब,$f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx} [e^{x^2}(x^2-5x+6)] = e^{x^2}(2x)(x^2-5x+6) + e^{x^2}(2x-5) = e^{x^2}(2x^3-10x^2+14x-5)$.माना $g(x) = 2x^3-10x^2+14x-5$ है। चूँकि $g(0) = -5$ और $g(1) = 1$,मध्यवर्ती मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0, 1)$ विद्यमान है जिसके लिए $g(c) = 0$,अर्थात $f^{\prime \prime}(c) = 0$ है। अतः,$(C)$ भी सही है।इसलिए,सभी विकल्प $(A), (B), (C), (D)$ सही हैं।

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