જો $F(x) = \left(f\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 + \left(g\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2$,જ્યાં $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$ અને $g(x) = f^{\prime}(x)$,અને $F(5) = 5$ આપેલ હોય,તો $F(10)$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x)=x^2+g^{\prime}(1) x+g^{\prime \prime}(2)$ અને $g(x)=f(1) x^2+x f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)$ હોય,તો $f(4)-g(4)$ ની કિંમત $...........$ થાય.

ધારો કે $f(x)=x^2+a x+b$,જ્યાં $a, b \in R$. જો $f(x)=0$ ના તમામ બીજ કાલ્પનિક હોય,તો $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=0$ ના બીજ કેવા હશે?

સમીકરણ $\log_{e} x + ex = 0$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} x^{3/5} & \text{જો } x \le 1 \\ -(x - 2)^3 & \text{જો } x > 1 \end{cases}$. તો વિધેયના આલેખ પરના ક્રાંતિક બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f_1: R \rightarrow R, f_2:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow R, f_3:\left(-1, e^{\frac{\pi}{2}}-2\right) \rightarrow R$ અને $f_4: R \rightarrow R$ એ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે:
$(i)$ $f_1(x)=\sin \left(\sqrt{1-e^{-x^2}}\right)$
$(ii)$ $f_2(x)=\begin{cases} \frac{|\sin x|}{\tan^{-1} x} & \text{જો } x \neq 0 \\ 1 & \text{જો } x=0 \end{cases}$,જ્યાં પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેય $\tan^{-1} x$ એ $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ માં કિંમતો ધારણ કરે છે.
$(iii)$ $f_3(x)=\left[\sin \left(\log_e(x+2)\right)\right]$,જ્યાં,$t \in R$ માટે,$[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે.
$(iv)$ $f_4(x)=\begin{cases} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text{જો } x \neq 0 \\ 0 & \text{જો } x=0 \end{cases}$

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. વિધેય $f_1$ એ	$1$. $x=0$ આગળ સતત નથી
$Q$. વિધેય $f_2$ એ	$2$. $x=0$ આગળ સતત છે અને $x=0$ આગળ વિકલનીય નથી
$R$. વિધેય $f_3$ એ	$3$. $x=0$ આગળ વિકલનીય છે અને તેનું વિકલિત $x=0$ આગળ સતત નથી
$S$. વિધેય $f_4$ એ	$4$. $x=0$ આગળ વિકલનીય છે અને તેનું વિકલિત $x=0$ આગળ સતત છે

સાચો વિકલ્પ છે: