यदि alpha, beta समीकरण x^2-2x+4=0 के मूल हैं | vedclass

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Question

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है। द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर, $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} =

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$2^{n+1}$

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(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है। द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर, $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ प्राप्त होता है। माना $\alpha = 1+i\sqrt{3}$ और $\beta = 1-i\sqrt{3}$ है। ध्रुवीय रूप में बदलने पर, $\alpha = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$ और $\beta = 2(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{-i\pi/3}$ है। अतः $\alpha^n + \beta^n = (2e^{i\pi/3})^n + (2e^{-i\pi/3})^n = 2^n(e^{in\pi/3} + e^{-in\pi/3})$ है। यूलर के सूत्र $e^{i	heta} + e^{-i	heta} = 2 \cos 	heta$ का उपयोग करने पर, $\alpha^n + \beta^n = 2^n(2 \cos \frac{n\pi}{3}) = 2^{n+1} \cos \frac{n\pi}{3}$ प्राप्त होता है। इसे दिए गए व्यंजक $k \cos \frac{n\pi}{3}$ के साथ तुलना करने पर, $k = 2^{n+1}$ प्राप्त होता है।

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-2x+4=0$ के मूल हैं और किसी भी $n \in N$ के लिए, $\alpha^n+\beta^n=k \cos \frac{n \pi}{3}$ है, तो $k=$

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