જો int sqrt{frac{2}{1+sin x}} dx = 2 log |A(x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $I = \int \sqrt{\frac{2}{1+\sin x}} dx$. $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + \sin x = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 2 \c

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{3+2 \sqrt{2}}}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $I = \int \sqrt{\frac{2}{1+\sin x}} dx$. $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + \sin x = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$. તેથી,$\sqrt{\frac{2}{1+\sin x}} = \sqrt{\frac{2}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}} = \frac{1}{|\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})|} = \sec(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$. $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$ એ $[0, \frac{\pi}{4}]$ માં છે,જ્યાં $\cos$ ધન છે. તેથી,$I = \int \sec(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) dx = -2 \log |\sec(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + 	an(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})| + C$. $\sec 	heta + 	an 	heta = 	an(\frac{\pi}{4} + \frac{	heta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આને $2 \log |\sec(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) + 	an(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})| + C$ તરીકે લખી શકાય. $2 \log |A(x) - B(x)|$ સાથે સરખાવતા,$B(x) = -	an(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) = 	an(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$ મળે છે. તેથી $B(\frac{\pi}{4}) = 	an(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8}) = 	an(\frac{\pi}{8})$. $	an(\frac{\pi}{4}) = \frac{2 	an(\pi/8)}{1 - 	an^2(\pi/8)} = 1$ હોવાથી,$y = 	an(\frac{\pi}{8})$ લેતા,$2y = 1 - y^2 \Rightarrow y^2 + 2y - 1 = 0$. $y > 0$ માટે ઉકેલતા,$y = \frac{-2 + \sqrt{4 + 4}}{2} = \sqrt{2} - 1$. તેથી $B(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}}$.

જો $\int \sqrt{\frac{2}{1+\sin x}} dx = 2 \log |A(x) - B(x)| + C$ અને $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ હોય,તો $B(\frac{\pi}{4}) = $

Similar Questions

$\int \sin ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x=$

$\int \frac{2-\sin x}{2 \cos x+3} d x=$

વિધેયનું સંકલન કરો: $\frac{x+3}{x^{2}-2x-5}$

$\int \frac{x^4+1}{x^6+1} \, dx =$

$\frac{e^{-\pi/4} + \int_0^{\pi/4} e^{-x} \tan^{50} x \, dx}{\int_0^{\pi/4} e^{-x} (\tan^{49} x + \tan^{51} x) \, dx}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module