यदि n geq 1 के लिए I_n = int x^n cdot e^{cx} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि,$I_n = \int x^n \cdot e^{cx} \, dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = x^n$ और $dv = e^{cx} \, d

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$x^n e^{cx}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि,$I_n = \int x^n \cdot e^{cx} \, dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = x^n$ और $dv = e^{cx} \, dx$ है। तब $du = n x^{n-1} \, dx$ और $v = \frac{e^{cx}}{c}$ प्राप्त होता है। सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर: $I_n = x^n \cdot \frac{e^{cx}}{c} - \int \frac{e^{cx}}{c} \cdot n x^{n-1} \, dx$. $I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$. चूंकि $I_{n-1} = \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$,इसलिए: $I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} I_{n-1}$. दोनों पक्षों को $c$ से गुणा करने पर: $c I_n = x^n e^{cx} - n I_{n-1}$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $c I_n + n I_{n-1} = x^n e^{cx}$.

यदि $n \geq 1$ के लिए $I_n = \int x^n \cdot e^{cx} \, dx$ है,तो $c \cdot I_n + n \cdot I_{n-1}$ का मान क्या होगा?

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