यदि M=int_0^{infty} frac{log t}{1+t^3} d t और | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $M = \int_0^{\infty} \frac{\log t}{1+t^3} dt$ और $N = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{t e^{2 t}}{1+e^{3 t}} dt$. $M$ के लिए,मान लीजिए

Vedclass · Accepted Answer

$N=-M$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $M = \int_0^{\infty} \frac{\log t}{1+t^3} dt$ और $N = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{t e^{2 t}}{1+e^{3 t}} dt$. $M$ के लिए,मान लीजिए $t = e^{-x}$,तो $dt = -e^{-x} dx$. जब $t = 0, x = \infty$ और जब $t = \infty, x = -\infty$. इन मानों को $M$ में प्रतिस्थापित करने पर: $M = \int_{\infty}^{-\infty} \frac{\log(e^{-x})}{1+(e^{-x})^3} (-e^{-x}) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{-x}{1+e^{-3x}} e^{-x} dx$. अंश और हर को $e^{3x}$ से गुणा करने पर: $M = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{-x e^{2x}}{e^{3x} + 1} dx = -\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x e^{2x}}{1+e^{3x}} dx$. इसकी तुलना $N$ से करने पर,हमें $M = -N$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $N = -M$.

यदि $M=\int_0^{\infty} \frac{\log t}{1+t^3} d t$ और $N=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{t e^{2 t}}{1+e^{3 t}} d t$ है,तो

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