यदि int_{0}^{pi} log (sin x) dx = 8 k है,तो i | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + 	an x) dx$ है।गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\p

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$-k$

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(B) माना $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + 	an x) dx$ है।गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + 	an (\frac{\pi}{4} - x)) dx$ प्राप्त होता है।चूंकि $	an (\frac{\pi}{4} - x) = \frac{1 - 	an x}{1 + 	an x}$ है,इसलिए:$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \frac{1 - 	an x}{1 + 	an x}) dx = \int_{0}^{\pi / 4} \log (\frac{2}{1 + 	an x}) dx$ है।$I = \int_{0}^{\pi / 4} (\log 2 - \log (1 + 	an x)) dx = \frac{\pi}{4} \log 2 - I$ है।$2I = \frac{\pi}{4} \log 2 \implies I = \frac{\pi}{8} \log 2$ है।दिया गया है कि $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = 8k$ है। हम जानते हैं कि $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = -\pi \log 2$ होता है।अतः,$8k = -\pi \log 2 \implies \pi \log 2 = -8k$ है।इस मान को $I = \frac{\pi}{8} \log 2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \frac{1}{8} (-8k) = -k$ प्राप्त होता है।

यदि $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = 8 k$ है,तो $\int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \tan x) dx =$

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$x \in \mathbb{R}$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = |\sin x|$ और $g(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ है। यदि $p(x) = g(x) - \frac{2}{\pi} x$ है,तो:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^3 x}{\sin x+\cos x} d x=$

मान लीजिए कि $\int\limits_0^1 {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{\tan x}}{2}} \right)} dx = \alpha $ है,तो $\int\limits_0^1 {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{\tan x - 2\cot x}}{3}} \right)} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकल $\int_{-2}^0 (x^3 + 3x^2 + 3x + 5 + (x + 1) \cos(x + 1)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $F(x) = \int_0^x \log \left( \frac{1 - t}{1 + t} \right) \,dt$ है

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