यदि a और b ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं कि b a, | vedclass

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Question

(A) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{(b-a)n} \frac{1}{na+r}$ है।हम इसे $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0

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$\log \left( \frac{b}{a} \right)$

Vedclass · Answer

(A) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{(b-a)n} \frac{1}{na+r}$ है।हम इसे $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{(b-a)n} \frac{1}{a + \frac{r}{n}}$ के रूप में लिख सकते हैं।निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{kn} f\left( \frac{r}{n} \right) = \int_{0}^{k} f(x) dx$ होता है।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{a+x}$ और $k = b-a$ है।अतः,$L = \int_{0}^{b-a} \frac{1}{a+x} dx$।समाकल का मूल्यांकन करने पर,हमें $L = [\log(a+x)]_{0}^{b-a}$ प्राप्त होता है।$L = \log(a + b - a) - \log(a + 0) = \log(b) - \log(a) = \log \left( \frac{b}{a} \right)$।

यदि $a$ और $b$ ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं कि $b > a$,तो $\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{1}{na} + \frac{1}{na+1} + \frac{1}{na+2} + \ldots + \frac{1}{nb} \right] = $

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