જો $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=-3 \hat{i}+5 \hat{j}-4 \hat{k}$ અને $\vec{c}=6 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ હોય,તો $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=$

એક સદિશ $\vec{a}$ એ સદિશો $\hat{i}$ અને $\hat{i}+\hat{j}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ અને સદિશો $\hat{i}-\hat{j}$ અને $\hat{i}+\hat{k}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમતલની છેદરેખાને સમાંતર છે. $\vec{a}$ અને સદિશ $\vec{b}=\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}$ વચ્ચેનો ગુરુકોણ કેટલો છે?

ધારોકે $\vec{u} = \hat{i} + \hat{j}$,$\vec{v} = \hat{i} - \hat{j}$ અને $\vec{w} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે. જો $\hat{n}$ એ એકમ સદિશ હોય કે જેથી $\vec{u} \cdot \hat{n} = 0$ અને $\vec{v} \cdot \hat{n} = 0$,તો $|\vec{w} \cdot \hat{n}| = ....$

ધારો કે $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j} .$ જો $\vec{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{c}=|\vec{c}|, |\vec{c}-\vec{a}|=2 \sqrt{2}$ અને $(\vec{a} \times \vec{b})$ તથા $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ હોય,તો $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}|$ નું મૂલ્ય શોધો.

સદિશ $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ પર સદિશ $2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ ના પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય કેટલું થાય?

ધારો કે $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$, જ્યાં $\lambda \in \mathbb{Z}$, બે સદિશો છે. ધારો કે $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{d}$ એ $yz$-સમતલમાં $2$ માન ધરાવતો સદિશ છે. જો $|\overrightarrow{c}|=\sqrt{53}$ હોય, તો $(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})^2$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત કેટલી થાય?