यदि $O(0,0,0)$,$A(1,2,1)$,$B(2,1,3)$ और $C(-1,1,2)$ एक चतुष्फलक के शीर्ष हैं,तो इसके फलक $OAB$ और किनारे $BC$ के बीच का न्यून कोण है

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}) = 8$ के बीच का न्यून कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}$ है। यदि $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)$ है, तो $p$ का/के मान है/हैं:

मान लीजिए कि रेखाएँ $L_1: \vec{r}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}+\lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})$, $\lambda \in R$ और $L_2: \vec{r}=(4\hat{i}+\hat{j})+\mu(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$, $\mu \in R$, बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। मान लीजिए $P$ और $Q$ क्रमशः रेखाओं $L_1$ और $L_2$ पर स्थित बिंदु हैं, इस प्रकार कि $|\overrightarrow{PR}|=\sqrt{29}$ और $|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{\frac{47}{3}}$ है। यदि बिंदु $P$ प्रथम अष्टांश (first octant) में स्थित है, तो $27(QR)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक समतल $P$ दो रेखाओं $\overrightarrow{r} = \hat{i} + \lambda(\hat{i} + \hat{j}), \lambda \in R$ और $\overrightarrow{r} = -\hat{j} + \mu(\hat{j} - \hat{k}), \mu \in R$ को समाहित करता है। यदि $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ बिंदु $M(1, 0, 1)$ से $P$ पर खींचे गए लंब का पाद है,तो $3(\alpha + \beta + \gamma)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $(1, 3, 5)$ का समतल $4x - 5y + 2z = 8$ के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, \gamma)$ है,तो $5(\alpha + \beta + \gamma)$ का मान ज्ञात कीजिए।

समतलों $3x + 2y + z - 5 = 0$ और $x + y - 2z - 3 = 0$ के प्रतिच्छेदन से बनने वाली रेखा का सममित समीकरण क्या है?