यदि $\Delta_{r}=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{3r-2} & \frac{2}{3r-5} \\ 0 & \frac{3}{3r+1}\end{array}\right|$, तो $\sum_{r=1}^{33} \Delta_{r}=$

मान लीजिए कि $A$ और $B$ क्रमशः $\begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix}$ के रूप के वास्तविक आव्यूह हैं।
कथन $1$: $AB - BA$ हमेशा एक व्युत्क्रमणीय (invertible) आव्यूह है।
कथन $2$: $AB - BA$ कभी भी एक तत्समक (identity) आव्यूह नहीं होता है।

निम्नलिखित में से कौन सा गलत है?

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 9 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = [b_{ij}], 1 \leq i, j \leq 3$ है। यदि $B = A^{99} - I$ है, तो $\frac{b_{31} - b_{21}}{b_{32}}$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $P$ और $Q$ समान कोटि के दो शून्येतर वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि उनका गुणनफल $PQ = 0$ है,तो ........

मान लीजिए $P=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]$,$A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ और $Q=PAP^{T}$ है। यदि $P^{T}Q^{2007}P=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]$ है,तो $2a+b-3c-4d$ का मान ज्ञात कीजिए।