यदि f: R rightarrow C को x in R के लिए f(x)=e | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन $f: R \rightarrow C$ इस प्रकार है कि $f(x) = e^{2 i x} = \cos(2x) + i \sin(2x)$।फलन $f$ के एकैकी होने के लिए, $f(x_1) = f(x_2)$ का अर

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न तो एकैकी और न ही आच्छादक

Vedclass · Answer

(D) दिया गया फलन $f: R \rightarrow C$ इस प्रकार है कि $f(x) = e^{2 i x} = \cos(2x) + i \sin(2x)$।फलन $f$ के एकैकी होने के लिए, $f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए। हालाँकि, $f(x + \pi) = e^{2 i (x + \pi)} = e^{2 i x + 2 i \pi} = e^{2 i x} \cdot e^{2 i \pi} = e^{2 i x} \cdot 1 = f(x)$। चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = f(x + \pi)$ है, इसलिए फलन बहु-एक (many-one) है।फलन $f$ के आच्छादक होने के लिए, इसका परिसर इसके सह-प्रांत $C$ के बराबर होना चाहिए। $f(x) = \cos(2x) + i \sin(2x)$ का परिसर उन सभी सम्मिश्र संख्याओं $z$ का समुच्चय है जहाँ $|z| = 1$ (सम्मिश्र तल में इकाई वृत्त)। चूँकि सह-प्रांत सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय $C$ है, और परिसर $C$ का केवल एक उपसमुच्चय (इकाई वृत्त) है, इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।अतः, $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

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