જો $\operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=e^x(x+1)$ અને $f(0)=0$ હોય, તો $\frac{d}{d x}\left(f(x) e^{-x}\right)+\frac{d}{d x}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=$

ધારો કે $f: R \rightarrow (0, \infty)$ અને $g: R \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેયો છે જેથી $f^{\prime \prime}$ અને $g^{\prime \prime}$ એ $R$ પર સતત વિધેયો છે. ધારો કે $f^{\prime}(2) = g(2) = 0$,$f^{\prime \prime}(2) \neq 0$ અને $g^{\prime}(2) \neq 0$. જો $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) g(x)}{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)} = 1$ હોય,તો:

$x > 0$ માટે વિધેયો $f_{1}(x) = x$ અને $f_{2}(x) = 2 + \ln x$ ધ્યાનમાં લો. આ વિધેયોના આલેખ ક્યાં છેદે છે?

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x-[x])}{x-[x]} & , x \in (-2, -1) \\ \max \{2x, 3[|x|]\} & , |x| < 1 \\ 1 & , \text{અન્યથા} \end{cases}$ જ્યાં $[t]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq t$ દર્શાવે છે. જો $m$ એ એવા બિંદુઓની સંખ્યા છે જ્યાં $f$ સતત નથી અને $n$ એ એવા બિંદુઓની સંખ્યા છે જ્યાં $f$ વિકલનીય નથી,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(m, n)$ શું છે?

વિધેય $f(x)$ ના નીચે મુજબના ગુણધર્મો આપેલ છે:
$(i)$ $f(x)$ સતત છે અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી અને $f'(4) = 0$.
$(iii)$ $(-5, 12)$ એ $f(x)$ ના આલેખ પરનું એક બિંદુ છે.
$(iv)$ $f''(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી,પરંતુ બાકીના દરેક જગ્યાએ $f''(x)$ ઋણ છે.
$(v)$ $f'(x)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબની સંખ્યા રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે:
$f'(x)$ એ $x < -5$ માટે ધન છે,$-5 < x < 2$ માટે ઋણ છે,$2 < x < 4$ માટે ધન છે,અને $x > 4$ માટે ઋણ છે.
$y = f(x)$ ના સંભવિત આલેખ પર,આપણી પાસે છે:

વક્ર $f(x) = e^{8x} - e^{6x} - 3e^{4x} - e^{2x} + 1$,$x \in R$ જ્યાં $x$-અક્ષને છેદે છે તે બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?