यदि int e^x left( frac{x^2-8x+19}{(x-1)^5} ri | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$. माना $f(x) = \frac{x-4}{(x-1)^4}$. तब $f'(x) = \frac{(x-1)^4(1) - (x-4) \cdot 4(x-1)^

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(D) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$. माना $f(x) = \frac{x-4}{(x-1)^4}$. तब $f'(x) = \frac{(x-1)^4(1) - (x-4) \cdot 4(x-1)^3}{(x-1)^8} = \frac{(x-1) - 4(x-4)}{(x-1)^5} = \frac{x-1-4x+16}{(x-1)^5} = \frac{-3x+15}{(x-1)^5} = \frac{-3(x-5)}{(x-1)^5}$. अब, समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{x^2-8x+19}{(x-1)^5} \right) dx$ पर विचार करें। हम अंश को $x^2-8x+19 = (x-4)(x-1) - 3(x-5)$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः, $I = \int e^x \left( \frac{x-4}{(x-1)^4} - \frac{3(x-5)}{(x-1)^5} \right) dx = \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C = \frac{e^x(x-4)}{(x-1)^4} + C$. इसकी तुलना $\frac{e^x(lx+m)}{(x-1)^4} + C$ से करने पर, हमें $l=1$ और $m=-4$ प्राप्त होता है। इसलिए, $4l+m = 4(1) + (-4) = 4-4 = 0$.

यदि $\int e^x \left( \frac{x^2-8x+19}{(x-1)^5} \right) dx = \frac{e^x(lx+m)}{(x-1)^4} + C$ है, तो $4l+m=$

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