જો $y = \frac{x}{\log_e|cx|}$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi\left(\frac{x}{y}\right)$ નો ઉકેલ હોય, તો $\phi\left(\frac{x}{y}\right)$ શું થાય?

$(1 + xy)y\,dx + (1 - xy)x\,dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

એક વક્ર $y = f(x)$ જે બિંદુ $\left(1, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તે વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0$ નું સમાધાન કરે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?

ધારો કે $b$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(0)=1$. જો $f$ નું વિકલિત $f^{\prime}$ એ સમીકરણ $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ નું પાલન કરે છે,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ જો $b>0$ હોય,તો $f$ એ વધતું વિધેય છે
$(B)$ જો $b < 0$ હોય,તો $f$ એ ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ $f(x)f(-x)=1$ દરેક $x \in R$ માટે
$(D)$ $f(x)-f(-x)=0$ દરેક $x \in R$ માટે

ચકાસો કે આપેલ વિધેય $y = x \sin x$ એ વિકલ સમીકરણ $x y^{\prime} = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$ નો ઉકેલ છે (જ્યાં $x \neq 0$ અને $x > y$ અથવા $x < -y$).

જો $x = \int_{-y}^{y} \frac{dt}{\sqrt{1 + 9t^2}}$ અને $\frac{d^2y}{dx^2} = ky$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.