यदि y = x^3 log(log_e(1 + x)) है,तो y''(0) का | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y = x^3 \log(\log_e(1 + x))$।सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलज $y'$ ज्ञात करें:$y' = 3x^2 \log(\log_e(1 + x)) + x^3 \cdot

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(A) दिया गया है $y = x^3 \log(\log_e(1 + x))$।सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलज $y'$ ज्ञात करें:$y' = 3x^2 \log(\log_e(1 + x)) + x^3 \cdot \frac{1}{\log_e(1 + x)} \cdot \frac{1}{1 + x}$$y' = 3x^2 \log(\log_e(1 + x)) + \frac{x^3}{(1 + x) \log_e(1 + x)}$अब,द्वितीय अवकलज $y''$ ज्ञात करें:$y'' = \frac{d}{dx} [3x^2 \log(\log_e(1 + x))] + \frac{d}{dx} \left[ \frac{x^3}{(1 + x) \log_e(1 + x)} ight]$जैसे $x 	o 0$,पद $3x^2 \log(\log_e(1 + x))$ में $x^2 \log(\log_e(1+x))$ शामिल है। चूंकि छोटे $x$ के लिए $\log_e(1+x) \approx x$,इसलिए $\log(\log_e(1+x)) \approx \log(x)$,और $x 	o 0$ होने पर $x^2 \log(x) 	o 0$ होता है।दूसरे पद $\frac{x^3}{(1 + x) \log_e(1 + x)}$ के लिए,$\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \dots$ विस्तार का उपयोग करते हुए:$\frac{x^3}{(1 + x)(x - \frac{x^2}{2})} = \frac{x^3}{x(1 + x)(1 - \frac{x}{2})} = \frac{x^2}{(1 + x)(1 - \frac{x}{2})} 	o 0$ जैसे $x 	o 0$।अतः,$x=0$ पर अवकलज का मान $y''(0) = 0$ प्राप्त होता है।

यदि $y = x^3 \log(\log_e(1 + x))$ है,तो $y''(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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