यदि z = sin^{-1}left( frac{x+y}{sqrt{x} + sqr | vedclass

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Question

(B) माना $u = \sin z = \frac{x+y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$.हम जाँच करते हैं कि क्या $u$,$x$ और $y$ का एक समघातीय फलन है।$u(tx, ty) = \frac{tx+ty}{\sqrt{t

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}	an z$

Vedclass · Answer

(B) माना $u = \sin z = \frac{x+y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$.हम जाँच करते हैं कि क्या $u$,$x$ और $y$ का एक समघातीय फलन है।$u(tx, ty) = \frac{tx+ty}{\sqrt{tx} + \sqrt{ty}} = \frac{t(x+y)}{\sqrt{t}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = t^{1/2} u(x, y)$.अतः,$u$,$n = 1/2$ घात वाला एक समघातीय फलन है।ऑयलर के प्रमेय के अनुसार,$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = n u$.$u = \sin z$ और $n = 1/2$ रखने पर:$x\frac{\partial}{\partial x}(\sin z) + y\frac{\partial}{\partial y}(\sin z) = \frac{1}{2} \sin z$.श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$x(\cos z \frac{\partial z}{\partial x}) + y(\cos z \frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{1}{2} \sin z$.दोनों पक्षों को $\cos z$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2} \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{1}{2} 	an z$.

यदि $z = \sin^{-1}\left( \frac{x+y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \right)$ है,तो $x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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