જો int_{sin x}^1 {{t^2}f(t);dt = 1 - sin x} , | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ: $\int_{\sin x}^1 {t^2}f(t) dt = 1 - \sin x$. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz integral rule નો ઉપયોગ કરીને): $\frac{d}

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ: $\int_{\sin x}^1 {t^2}f(t) dt = 1 - \sin x$. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz integral rule નો ઉપયોગ કરીને): $\frac{d}{dx} \left( \int_{\sin x}^1 {t^2}f(t) dt ight) = \frac{d}{dx} (1 - \sin x)$. કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$\int_{g(x)}^a h(t) dt$ નું વિકલન $-h(g(x)) \cdot g'(x)$ થાય છે. તેથી,$-(\sin x)^2 f(\sin x) \cdot \cos x = -\cos x$. અહીં $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$\cos x 
eq 0$ છે,તેથી બંને બાજુ $-\cos x$ વડે ભાગતા: $(\sin x)^2 f(\sin x) = 1$. આમ,$f(\sin x) = \frac{1}{\sin^2 x}$. તેથી,$f(t) = \frac{1}{t^2}$ મળે. પરિણામે,$f\left( \frac{1}{\sqrt{3}} ight) = \frac{1}{(1/\sqrt{3})^2} = \frac{1}{1/3} = 3$.

જો $\int_{\sin x}^1 {{t^2}f(t)\;dt = 1 - \sin x} $,$x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ હોય,તો $f\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $\int\limits_e^x {t\,f(t)\,dt = \sin x - x\cos x - \frac{{{x^2}}}{2}}$ એ તમામ $x \in R - \{0\}$ માટે હોય,તો $f(\frac{\pi}{6})$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \left( 1 + \log \left( \frac{2 + \sin x}{2 - \sin x} \right) \right) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{3/2} dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{-5 \pi}^{5 \pi} (1-\cos 2x)^{\frac{5}{2}} dx =$

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module