यदि int_0^1 {{e^{{x^2}}}(x - alpha ),dx = 0,} | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\int_0^1 {{e^{{x^2}}}(x - \alpha )\,dx = 0}$.इसे $\int_0^1 {x{e^{{x^2}}}dx = \alpha \int_0^1 {{e^{{x^2}}}dx} }$ के रूप में लिखा जा सक

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$0 < \alpha < 1$

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(C) दिया गया है $\int_0^1 {{e^{{x^2}}}(x - \alpha )\,dx = 0}$.इसे $\int_0^1 {x{e^{{x^2}}}dx = \alpha \int_0^1 {{e^{{x^2}}}dx} }$ के रूप में लिखा जा सकता है।बाईं ओर के लिए,मान लीजिए $u = x^2$,तो $du = 2x \, dx$,इसलिए $x \, dx = \frac{1}{2} du$। जब $x=0, u=0$ और जब $x=1, u=1$।अतः,$\frac{1}{2} \int_0^1 {e^u du} = \alpha \int_0^1 {{e^{{x^2}}}dx}$।$\frac{1}{2} [e^u]_0^1 = \alpha \int_0^1 {{e^{{x^2}}}dx}$।$\frac{1}{2} (e - 1) = \alpha \int_0^1 {{e^{{x^2}}}dx}$।इसलिए,$\alpha = \frac{e - 1}{2 \int_0^1 {{e^{{x^2}}}dx}}$।चूंकि $e^x$ अंतराल $[0, 1]$ पर एक वर्धमान फलन है,$1 \le e^{x^2} \le e$। अतः,$\int_0^1 1 \, dx चूंकि $e \approx 2.718$,$\frac{e-1}{2} \approx 0.859$। चूंकि $\int_0^1 e^{x^2} \, dx > 1$,$\alpha = \frac{0.859}{ ext{value} > 1} साथ ही,चूंकि $e > 1$,$\alpha > 0$। अतः,$0 < \alpha < 1$।

यदि $\int_0^1 {{e^{{x^2}}}(x - \alpha )\,dx = 0,} $ है,तो

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$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx = $

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