यदि {a_1}, {a_2}, {a_3}, dots, {a_n}, dots एक | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots$ एक $G.P.$ में हैं जिसका सार्व अनुपात $r$ है।अतः,${a_{n+1}} = {a_n} \cdot r$,जिसका अर्थ है $\log {a_{n+

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$0$

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(D) दिया गया है कि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots$ एक $G.P.$ में हैं जिसका सार्व अनुपात $r$ है।अतः,${a_{n+1}} = {a_n} \cdot r$,जिसका अर्थ है $\log {a_{n+1}} = \log {a_n} + \log r$.इसी प्रकार,$\log {a_{n+k}} = \log {a_n} + k \log r$.मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} & \log {a_{n+2}} \ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} & \log {a_{n+5}} \ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} & \log {a_{n+8}} \end{array} ight|$ है।स्तंभ संक्रियाओं ${C_2} 	o {C_2} - {C_1}$ और ${C_3} 	o {C_3} - {C_2}$ को लागू करने पर:$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} - \log {a_n} & \log {a_{n+2}} - \log {a_{n+1}} \ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} - \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+5}} - \log {a_{n+4}} \ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} - \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+8}} - \log {a_{n+7}} \end{array} ight|$.चूंकि किसी भी $k$ के लिए $\log {a_{n+k}} - \log {a_{n+k-1}} = \log r$ होता है,इसलिए सारणिक इस प्रकार हो जाता है:$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log r & \log r \ \log {a_{n+3}} & \log r & \log r \ \log {a_{n+6}} & \log r & \log r \end{array} ight|$.चूंकि स्तंभ $2$ और स्तंभ $3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

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यदि $\left| \begin{array}{ccc} y + z & x & y \\ z + x & z & x \\ x + y & y & z \end{array} \right| = k(x + y + z)(x - z)^2$ है,तो $k = $

सारणिक $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a + x}&{a + y}&{a + z}\\{b + x}&{1 + b + y}&{b + z}\\{c + x}&{c + y}&{1 + c + z}\end{array}} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & a b & a c \\ a b & b^{2}+1 & b c \\ c a & c b & c^{2}+1\end{array}\right|=1+a^{2}+b^{2}+c^{2}$

यदि $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$ और $x \neq y \neq z$ है, तो $1+x y z$ का मान ज्ञात कीजिए।

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