જો પ્રવાહીનું એક ટીપું નાના ટીપાંમાં વિભાજિત થાય,તો તેના પરિણામે ટીપાંનું તાપમાન ઘટે છે. ધારો કે $R$ ત્રિજ્યાનું એક ટીપું $N$ નાના ટીપાંમાં વિભાજિત થાય છે,જે દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે. તાપમાનમાં થતો ઘટાડો અંદાજો.
(N/A) પ્રક્રિયા દરમિયાન પ્રવાહીનું કદ અચળ રહે છે.
મોટા ટીપાનું કદ = $N \times$ નાના ટીપાનું કદ
$\frac{4}{3} \pi R^3 = N \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = N r^3 \implies N = \frac{R^3}{r^3}$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A$ એ અંતિમ પૃષ્ઠફળ અને પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળનો તફાવત છે:
$\Delta A = N(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi (N r^2 - R^2)$.
$N = R^3/r^3$ હોવાથી,$\Delta A = 4 \pi (\frac{R^3}{r^3} r^2 - R^2) = 4 \pi R^2 (\frac{R}{r} - 1)$.
પૃષ્ઠફળમાં વધારાને કારણે મુક્ત થતી ઉર્જા $E = S \Delta A = 4 \pi S R^2 (\frac{R}{r} - 1)$ છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આ ઉર્જા પ્રવાહીની આંતરિક ઉર્જામાંથી શોષાય છે,જેના કારણે તાપમાનમાં $\Delta \theta$ જેટલો ઘટાડો થાય છે.
$E = m C \Delta \theta$,જ્યાં $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi R^3)$ અને $C$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $4 \pi S R^2 (\frac{R}{r} - 1) = \rho (\frac{4}{3} \pi R^3) C \Delta \theta$.
$\Delta \theta$ માટે ઉકેલતા: $\Delta \theta = \frac{3 S}{\rho C R} (\frac{R}{r} - 1) = \frac{3 S}{\rho C} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
મોટા ટીપાનું કદ = $N \times$ નાના ટીપાનું કદ
$\frac{4}{3} \pi R^3 = N \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = N r^3 \implies N = \frac{R^3}{r^3}$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A$ એ અંતિમ પૃષ્ઠફળ અને પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળનો તફાવત છે:
$\Delta A = N(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi (N r^2 - R^2)$.
$N = R^3/r^3$ હોવાથી,$\Delta A = 4 \pi (\frac{R^3}{r^3} r^2 - R^2) = 4 \pi R^2 (\frac{R}{r} - 1)$.
પૃષ્ઠફળમાં વધારાને કારણે મુક્ત થતી ઉર્જા $E = S \Delta A = 4 \pi S R^2 (\frac{R}{r} - 1)$ છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આ ઉર્જા પ્રવાહીની આંતરિક ઉર્જામાંથી શોષાય છે,જેના કારણે તાપમાનમાં $\Delta \theta$ જેટલો ઘટાડો થાય છે.
$E = m C \Delta \theta$,જ્યાં $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi R^3)$ અને $C$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $4 \pi S R^2 (\frac{R}{r} - 1) = \rho (\frac{4}{3} \pi R^3) C \Delta \theta$.
$\Delta \theta$ માટે ઉકેલતા: $\Delta \theta = \frac{3 S}{\rho C R} (\frac{R}{r} - 1) = \frac{3 S}{\rho C} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
Explore More
Similar Questions
વિધાન $(A)$: ક્રાંતિક તાપમાને,પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ શૂન્ય થઈ જાય છે.
કારણ $(R)$: ક્રાંતિક તાપમાને,પ્રવાહી અને વાયુઓ માટે આંતરઆણ્વીય બળો સમાન થઈ જાય છે.
કારણ $(R)$: ક્રાંતિક તાપમાને,પ્રવાહી અને વાયુઓ માટે આંતરઆણ્વીય બળો સમાન થઈ જાય છે.
જ્યારે $\rho$ ઘનતા ધરાવતી પ્રવાહી દવા આંખમાં નાખવાની હોય, ત્યારે તે ડ્રોપરની મદદથી કરવામાં આવે છે। જેમ ડ્રોપરની ટોચ પરનો બલ્બ દબાવવામાં આવે છે, તેમ ડ્રોપરના મુખ પર એક ટીપું બને છે। આપણે ટીપાનું કદ અંદાજવા માંગીએ છીએ। આપણે પહેલા ધારીએ છીએ કે મુખ પર બનેલું ટીપું ગોળાકાર છે કારણ કે તેના માટે તેની સપાટીની ઉર્જામાં ન્યૂનતમ વધારો જરૂરી છે। કદ નક્કી કરવા માટે, આપણે સપાટીના તણાવ $T$ ને કારણે લાગતું ચોખ્ખું ઉર્ધ્વ બળ ગણીએ છીએ જ્યારે ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ હોય છે। જ્યારે બળ ટીપાના વજન કરતા ઓછું થાય છે, ત્યારે ટીપું ડ્રોપરથી અલગ થઈ જાય છે।
$1.$ જો ડ્રોપરના મુખની ત્રિજ્યા $r$ હોય, તો $R$ ત્રિજ્યાના ટીપા પર સપાટીના તણાવને કારણે લાગતું ઉર્ધ્વ બળ ($r \ll R$ ધારીને) કેટલું હશે?
$(A)$ $2 \pi r T$ $(B)$ $2 \pi R T$ $(C)$ $\frac{2 \pi r^2 T}{R}$ $(D)$ $\frac{2 \pi R^2 T}{r}$
$2.$ જો $r=5 \times 10^{-4} \, m, \rho=10^3 \, kg \, m^{-3}, g=10 \, m/s^2, T=0.11 \, Nm^{-1}$ હોય, તો જ્યારે ટીપું ડ્રોપરથી અલગ થાય ત્યારે તેની ત્રિજ્યા આશરે કેટલી હશે?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-3} \, m$ $(B)$ $3.3 \times 10^{-3} \, m$
$(C)$ $2.0 \times 10^{-3} \, m$ $(D)$ $4.1 \times 10^{-3} \, m$
$3.$ ટીપું અલગ થયા પછી, તેની સપાટીની ઉર્જા કેટલી હશે?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-6} \, J$ $(B)$ $2.7 \times 10^{-6} \, J$
$(C)$ $5.4 \times 10^{-6} \, J$ $(D)$ $8.1 \times 10^{-6} \, J$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો।
$1.$ જો ડ્રોપરના મુખની ત્રિજ્યા $r$ હોય, તો $R$ ત્રિજ્યાના ટીપા પર સપાટીના તણાવને કારણે લાગતું ઉર્ધ્વ બળ ($r \ll R$ ધારીને) કેટલું હશે?
$(A)$ $2 \pi r T$ $(B)$ $2 \pi R T$ $(C)$ $\frac{2 \pi r^2 T}{R}$ $(D)$ $\frac{2 \pi R^2 T}{r}$
$2.$ જો $r=5 \times 10^{-4} \, m, \rho=10^3 \, kg \, m^{-3}, g=10 \, m/s^2, T=0.11 \, Nm^{-1}$ હોય, તો જ્યારે ટીપું ડ્રોપરથી અલગ થાય ત્યારે તેની ત્રિજ્યા આશરે કેટલી હશે?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-3} \, m$ $(B)$ $3.3 \times 10^{-3} \, m$
$(C)$ $2.0 \times 10^{-3} \, m$ $(D)$ $4.1 \times 10^{-3} \, m$
$3.$ ટીપું અલગ થયા પછી, તેની સપાટીની ઉર્જા કેટલી હશે?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-6} \, J$ $(B)$ $2.7 \times 10^{-6} \, J$
$(C)$ $5.4 \times 10^{-6} \, J$ $(D)$ $8.1 \times 10^{-6} \, J$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો।
નીચેના પ્રવાહીઓને પૃષ્ઠતાણના વધતા ક્રમમાં ગોઠવો: પાણી,પારો,સાબુનું દ્રાવણ.
Easy
View Solutionઆકૃતિ $(a)$ એક પાતળું પ્રવાહીનું પડ દર્શાવે છે જે $4.5 \times 10^{-2} \, N$ જેટલું નાનું વજન ટેકવે છે. આકૃતિ $(b)$ અને $(c)$ માં સમાન તાપમાને સમાન પ્રવાહીના પડ દ્વારા કેટલું વજન ટેકવવામાં આવશે? તમારા જવાબને ભૌતિક રીતે સમજાવો.
Medium
View Solution$L$ લંબાઈ અને $d$ ઘનતા ધરાવતો એક ધાતુનો તાર પાણીની મુક્ત સપાટી પર આડો તરે છે. તારની મહત્તમ ત્રિજ્યા કેટલી હોય જેથી તે પાણીમાં ડૂબે નહીં? [$T$ = પાણીનું પૃષ્ઠતાણ, $g$ = ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ]
DifficultMHT CET 2026
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo