જો ત્રણ અજ્ઞાત ધરાવતી ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ,જે $AX = D$ ના મેટ્રિક્સ સમીકરણ સ્વરૂપમાં છે,તે અસંગત (inconsistent) હોય,તો $\frac{\text{rank of } A}{\text{rank of } AD}$ શું થાય?

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $3x - 4y + kz + 13 = 0$,$x + 2y - z - 9 = 0$ અને $kx - y + 3z + 7 = 0$ માટે $k \neq m$ અને $2\beta - \gamma = 8$ હોય ત્યારે અનન્ય ઉકેલ $x = \alpha, y = \beta, z = \gamma$ મળે,તો $\alpha + m =$

સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+y+z=\beta$,$5x-y+\alpha z=10$,અને $2x+3y-z=6$ ના અનન્ય ઉકેલનું અસ્તિત્વ શેના પર આધાર રાખે છે?

જો $x^a y^b=e^m, x^c y^d=e^n, \Delta_1=\left|\begin{array}{ll}m & b \\ n & d\end{array}\right|, \Delta_2=\left|\begin{array}{ll}a & m \\ c & n\end{array}\right|, \Delta_3=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|$,હોય,તો $x$ અને $y$ ની કિંમતો અનુક્રમે શું થાય? ($e$ એ પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો આધાર છે).

સમીકરણોની સંહતિ $\lambda x - y + (\cos\theta) z = 0$,$3x + y + 2z = 0$,અને $(\cos\theta) x + y + 2z = 0$ માટે $0 < \theta < 2\pi$ ને અનન્ય ઉકેલ સિવાયના (non-trivial) ઉકેલ(ઓ) છે:

સમીકરણો $x + 2y + 3z = 1,$ $2x + y + 3z = 2,$ અને $5x + 5y + 9z = 4$ માટે: