यदि समीकरण 2x^3 + ax^2 - 8x + b = 0 के प्रत्य | vedclass

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Question

(B) माना समीकरण $2x^3 + ax^2 - 8x + b = 0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। प्रत्येक मूल को $1$ से कम करने पर,नए मूल $\alpha-1, \beta-1, \gamma-1$

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$1, 1 \pm \sqrt{7}$

Vedclass · Answer

(B) माना समीकरण $2x^3 + ax^2 - 8x + b = 0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। प्रत्येक मूल को $1$ से कम करने पर,नए मूल $\alpha-1, \beta-1, \gamma-1$ प्राप्त होते हैं। माना $y = x - 1$,अतः $x = y + 1$। मूल समीकरण में $x = y + 1$ रखने पर: $2(y+1)^3 + a(y+1)^2 - 8(y+1) + b = 0$ $2(y^3 + 3y^2 + 3y + 1) + a(y^2 + 2y + 1) - 8(y + 1) + b = 0$ $2y^3 + (6 + a)y^2 + (6 + 2a - 8)y + (2 + a - 8 + b) = 0$। दिया गया है कि $y^2$ का गुणांक और अचर पद शून्य हैं: $6 + a = 0 \Rightarrow a = -6$। $2 + a - 8 + b = 0$ $\Rightarrow 2 - 6 - 8 + b = 0$ $\Rightarrow b = 12$। मूल समीकरण $2x^3 - 6x^2 - 8x + 12 = 0$ है। $2$ से भाग देने पर,$x^3 - 3x^2 - 4x + 6 = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $x = 1$ एक मूल है $(1 - 3 - 4 + 6 = 0)$,अतः $(x - 1)$ से भाग देने पर: $(x - 1)(x^2 - 2x - 6) = 0$। मूल $x = 1$ और $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$ हैं।

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