જો પૃથ્વીનું દળ ગ્રહ $P$ કરતા નવ ગણું અને ત્રિજ્યા બમણી હોય, તો ગ્રહ $P$ ના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી બહાર નીકળવા માટે રોકેટ માટે જરૂરી લઘુત્તમ વેગ $v_e / (3 \sqrt{x}) \text{ ms}^{-1}$ છે, જ્યાં $v_e$ એ પૃથ્વી પરનો નિષ્ક્રમણ વેગ છે. $x$ નું મૂલ્ય શોધો.

$3\times10^{31} \ kg$ દળ ધરાવતા બે તારાઓ એકબીજાથી $2\times10^{11} \ m$ અંતરે રહેલા છે અને તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ એક સમતલમાં ફરે છે. એક ઉલ્કા $O$ માંથી પસાર થાય છે જે તારાઓના પરિભ્રમણ સમતલને લંબ ગતિ કરે છે. આ બેવડા તારાના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી છૂટવા માટે,ઉલ્કાની $O$ આગળ લઘુત્તમ ઝડપ કેટલી હોવી જોઈએ? (ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G = 6.67\times10^{-11} \ Nm^2 \ kg^{-2}$ લો)

$v_e$ અને $v_p$ એ પૃથ્વી અને બીજા ગ્રહ પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ દર્શાવે છે,જેની ત્રિજ્યા પૃથ્વી કરતા બમણી છે અને સરેરાશ ઘનતા પૃથ્વી જેટલી જ છે. તો:

પૃથ્વીની સપાટીથી $1000 \, km$ ઊંચાઈએ રહેલા વાતાવરણીય કણનો નિષ્ક્રમણ વેગ .......... $km/s$ છે (પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $6400 \, km$ અને $g = 9.8 \, m/s^2$ છે).

પૃથ્વી અને ચંદ્રના દળ અને ત્રિજ્યા અનુક્રમે $M_1, R_1$ અને $M_2, R_2$ છે. તેમના કેન્દ્રો એકબીજાથી $d$ અંતરે આવેલા છે. $m$ દળના પદાર્થને $M_1$ ના કેન્દ્રથી $\frac{2d}{3}$ અંતરેથી અનંત સુધી પહોંચાડવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ કેટલી હશે?

એક ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $\frac{\sqrt{6}}{11}g$ છે,જ્યાં $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પરનો ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ છે. ગ્રહની સરેરાશ દળ ઘનતા પૃથ્વીની ઘનતા કરતા $\frac{2}{3}$ ગણી છે. જો પૃથ્વીની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ ઝડપ $11 \ km/s$ લેવામાં આવે,તો ગ્રહની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ ઝડપ $km/s$ માં કેટલી હશે?