यदि एक वास्तविक संख्या y के लिए,[y],y से छोटा | vedclass

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Question

(C) हमें $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} [2 \sin x] \,dx$ का मान ज्ञात करना है।$x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए,$\sin x$ का म

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$-\frac{\pi}{2}$

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(C) हमें $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} [2 \sin x] \,dx$ का मान ज्ञात करना है।$x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए,$\sin x$ का मान $1$ से $-1$ के बीच होता है,इसलिए $2 \sin x$ का मान $2$ से $-2$ के बीच होता है।हम $[2 \sin x]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:$1) x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}]$ के लिए,$\frac{1}{2} \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow 1 \leq 2 \sin x \leq 2$. अतः $[2 \sin x] = 1$.$2) x \in [\frac{5\pi}{6}, \pi]$ के लिए,$0 \leq \sin x \leq \frac{1}{2} \Rightarrow 0 \leq 2 \sin x \leq 1$. अतः $[2 \sin x] = 0$.$3) x \in [\pi, \frac{7\pi}{6}]$ के लिए,$-\frac{1}{2} \leq \sin x \leq 0 \Rightarrow -1 \leq 2 \sin x \leq 0$. अतः $[2 \sin x] = -1$.$4) x \in [\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए,$-1 \leq \sin x \leq -\frac{1}{2} \Rightarrow -2 \leq 2 \sin x \leq -1$. अतः $[2 \sin x] = -2$.$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}} (1) \,dx + \int_{\frac{5\pi}{6}}^{\pi} (0) \,dx + \int_{\pi}^{\frac{7\pi}{6}} (-1) \,dx + \int_{\frac{7\pi}{6}}^{\frac{3\pi}{2}} (-2) \,dx$$I = (\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{2}) + 0 - (\frac{7\pi}{6} - \pi) - 2(\frac{3\pi}{2} - \frac{7\pi}{6})$$I = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} - 2(\frac{2\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}$.

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