यदि निर्देशांक अक्षों को मूल बिंदु के परितः $\frac{\pi}{6}$ कोण से घुमाया जाता है,तो $\sqrt{3} x^2-4 x y+\sqrt{3} y^2=0$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?

जब निर्देशांक अक्षों को धनात्मक दिशा में $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाया जाता है,तो एक समीकरण $x^2+y^2-6x+8y+21=0$ में परिवर्तित हो जाता है। तो मूल समीकरण क्या है?

यदि $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ क्रमशः वे कोण हैं जिनसे निर्देशांक अक्षों को घुमाया जाना है ताकि निम्नलिखित समीकरणों से $xy$ पद को समाप्त किया जा सके,तो इन कोणों का अवरोही क्रम क्या है?
$A_1 = 3x^2 + 5xy + 3y^2 + 2x + 3y + 4 = 0$
$A_2 = 5x^2 + 2\sqrt{3}xy + 3y^2 + 6 = 0$
$A_3 = 4x^2 + \sqrt{3}xy + 5y^2 - 4 = 0$

जब मूल बिंदु को $(h, k)$ बिंदु पर स्थानांतरित किया जाता है,तो समीकरण $S = 2x^2 - xy + y^2 + 2x + 3y + 1 = 0$ बदलकर $S' = ax^2 + 2hxy + by^2 + C' = 0$ हो जाता है। यदि इसके बाद निर्देशांक अक्षों को नए मूल बिंदु के चारों ओर $\theta$ कोण पर धनात्मक दिशा में घुमाया जाता है ताकि $xy$ पद समाप्त हो जाए,तो समीकरण $S' = 0$,$Ax^2 + By^2 + C = 0$ बन जाता है। $h + k + \tan 2\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मूलबिंदु को $(1,2)$ पर स्थानांतरित किया जाता है। पुरानी प्रणाली में बिंदु $(7,5)$ क्रमिक रूप से निम्नलिखित परिवर्तनों से गुजरता है।
$I$. मूलबिंदु के दिए गए स्थानांतरण के तहत नए बिंदु पर जाता है।
$II$. नई $X$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में $2$ इकाई स्थानांतरित होता है।
$III$. नई प्रणाली के मूलबिंदु के चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा में $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाया जाता है। बिंदु $(7,5)$ की अंतिम स्थिति क्या है?

बिंदु $P(\alpha, \beta)$ जहाँ $\alpha > 0, \beta > 0$ है,क्रमिक रूप से निम्नलिखित परिवर्तनों से गुजरता है:
$a)$ $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $3$ इकाई का स्थानांतरण।
$b)$ रेखा $y = -x$ के सापेक्ष परावर्तन।
$c)$ मूल बिंदु के चारों ओर धनात्मक दिशा में $\frac{\pi}{4}$ के कोण पर अक्षों का घूर्णन।
यदि बिंदु $P$ की अंतिम स्थिति $(-4\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ है,तो $(\alpha + \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।