यदि फलन f(x),जो नीचे परिभाषित है,अंतराल [0, p | vedclass

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Question

(D) चूँकि $f(x)$ अंतराल $[0, \pi]$ में सतत है,इसलिए यह $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर भी सतत होना चाहिए।$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\lim_{x

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$a = \frac{\pi}{6}, b = \frac{-\pi}{12}$

Vedclass · Answer

(D) चूँकि $f(x)$ अंतराल $[0, \pi]$ में सतत है,इसलिए यह $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर भी सतत होना चाहिए।$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\lim_{x 	o \frac{\pi}{4}^-} f(x) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}^+} f(x) = f(\frac{\pi}{4})$.$\frac{\pi}{4} + a\sqrt{2}(\sin \frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})(\cot \frac{\pi}{4}) + b$$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \Rightarrow a - b = \frac{\pi}{4} \dots (I)$.$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$\lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^+} f(x) = f(\frac{\pi}{2})$.$2(\frac{\pi}{2})(\cot \frac{\pi}{2}) + b = a(\cos \pi) - b(\sin \frac{\pi}{2})$.चूँकि $\cot \frac{\pi}{2} = 0$,इसलिए $b = -a - b \Rightarrow a = -2b \dots (II)$.समीकरण $(II)$ को $(I)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-2b - b = \frac{\pi}{4} \Rightarrow -3b = \frac{\pi}{4} \Rightarrow b = -\frac{\pi}{12}$.अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.

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यदि $f(x) = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \text{ अपरिमेय है} \\ 0, & \text{यदि } x \text{ परिमेय है} \end{cases}$ है,तो $f$ है

मान लीजिए $f(x) = \frac{1-\tan x}{4x-\pi}$,जहाँ $x \neq \frac{\pi}{4}$ और $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है। यदि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में सतत है,तो $f(\frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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