यदि फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a = $ ..............

$a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\frac{a_{3}}{4}=0$ को संतुष्ट करने वाले $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ के सभी वास्तविक मानों के लिए, समीकरण $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}=0$ का किस अंतराल में एक वास्तविक मूल है?

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ एक दो बार सतत अवकलनीय फलन है, इस प्रकार कि $f(0) = f(1) = f^{\prime}(0) = 0$ है। तो:

यदि एक बहुपद समीकरण $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,के दो भिन्न मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो समीकरण $na_nx^{n-1} + (n - 1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ के अंतराल $(\alpha, \beta)$ में कितने मूल होंगे?

निम्नलिखित फलनों पर विचार करें:
$I) f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}-x, & x < \frac{1}{2} \\ (\frac{1}{2}-x)^2, & x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$
$II) f(x) = |3x-1|$
$III) f(x) = x|x|$
$IV) f(x) = |x|$
तो $[0, 1]$ पर लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ किन फलनों के लिए लागू होता है?

यदि फलन $f(x) = 2x^3 + bx^2 + cx$ के लिए अंतराल $x \in [-1, 1]$ में $x = \frac{1}{2}$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है,तो $2b + c$ का मान ज्ञात कीजिए।