यदि फलन $y = e^{4x} + 2e^{-x}$ अवकल समीकरण $\frac{\frac{d^3y}{dx^3} - 13\frac{dy}{dx}}{y} = K$ का एक हल है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक शहर की जनसंख्या उस समय की जनसंख्या के समानुपाती दर से बढ़ती है। यदि शहर की जनसंख्या $30$ वर्षों में $20$ लाख से बढ़कर $40$ लाख हो जाती है,तो अगले $15$ वर्षों के बाद जनसंख्या क्या होगी?

एक शहर की जनसंख्या के बढ़ने की दर वर्तमान जनसंख्या के समानुपाती है। $30$ वर्षों की अवधि में,जनसंख्या $20$ लाख से बढ़कर $40$ लाख हो गई। तो,$15$ वर्ष की और अवधि के बाद जनसंख्या क्या होगी ($\text{लाख}$ में)? ($\sqrt{2} = 1.41$ लें)

बैक्टीरिया के एक निश्चित संवर्धन में,वृद्धि की दर उपस्थित संख्या के समानुपाती है। यदि $3$ घंटे के अंत में $10^4$ और $5$ घंटे के अंत में $4 \cdot 10^4$ बैक्टीरिया हैं,तो शुरुआत में $\qquad$ बैक्टीरिया थे।

बैक्टीरिया की वृद्धि की दर उपस्थित संख्या के समानुपाती है। यदि प्रारंभ में $1000$ बैक्टीरिया थे और $1$ घंटे में संख्या दोगुनी हो जाती है,तो $2 \frac{1}{2}$ घंटे बाद बैक्टीरिया की संख्या क्या होगी? (दिया है $\sqrt{2} = 1.414$)

एक कल्चर में बैक्टीरिया की वृद्धि की दर उपस्थित बैक्टीरिया की संख्या के समानुपाती है और प्रारंभिक समय $t = 0$ पर बैक्टीरिया की संख्या $1000$ है। $2$ घंटों में बैक्टीरिया की संख्या में $20\%$ की वृद्धि होती है। यदि $\frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}$ घंटों के बाद बैक्टीरिया की जनसंख्या $2000$ है,तो $\left(\frac{k}{\log_{e} 2}\right)^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।