यदि बिंदु $A(2,1,-1), B(0,-1,0), C(4,0,4)$ और $D(2,0,x)$ समतलीय हैं,तो $x=$

कथन $1$: सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ एक ही समतल में स्थित हैं यदि और केवल यदि $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ है।
कथन $2$: सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ लंबवत हैं यदि और केवल यदि $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ है,जहाँ $\vec{u} \times \vec{v}$ एक सदिश है जो $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के समतल के लंबवत है।

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) जिसके किनारे $\vec{OA}, \vec{OB}$ और $\vec{OC}$ हैं,जहाँ $A(4, 3, 1), B(3, 1, 2)$ और $C(5, 2, 1)$ हैं और $O$ मूलबिंदु है,का आयतन ......... घन इकाई है।

यदि $a, b$ और $c$ असमतलीय सदिश हैं और $2a+3b-c$,$a-2b+3c$,$3a+4b-2c$ और $ka-6b+6c$ स्थिति सदिश वाले चार बिंदु समतलीय हैं,तो $k=$

यदि $35 \hat{i}+14 \hat{j}-77 \hat{k}$,$2 \hat{i}+7 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $5 \hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक चतुष्फलक का आयतन,जिसके शीर्ष $A \equiv (1, -6, 10)$,$B \equiv (-1, -3, 7)$,$C \equiv (5, -1, k)$ और $D \equiv (7, -4, 7)$ हैं,$11$ घन इकाई है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।