यदि अतिपरवलय frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1 | vedclass

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Question

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के अनंतस्पर्शी के समीकरण $bx - ay = 0$ और $bx + ay = 0$ हैं।माना $P(a \sec 	heta, b 	an 	heta)$ अत

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(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के अनंतस्पर्शी के समीकरण $bx - ay = 0$ और $bx + ay = 0$ हैं।माना $P(a \sec 	heta, b 	an 	heta)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है।$P$ से अनंतस्पर्शी $bx - ay = 0$ तक की लंबवत दूरी $PQ = \frac{|b(a \sec 	heta) - a(b 	an 	heta)|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{ab(\sec 	heta - 	an 	heta)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।$P$ से अनंतस्पर्शी $bx + ay = 0$ तक की लंबवत दूरी $PR = \frac{|b(a \sec 	heta) + a(b 	an 	heta)|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{ab(\sec 	heta + 	an 	heta)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।इन दूरियों का गुणनफल $6$ दिया गया है:$\frac{a^2 b^2(\sec^2 	heta - 	an^2 	heta)}{a^2 + b^2} = 6$चूंकि $\sec^2 	heta - 	an^2 	heta = 1$,इसलिए $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = 6$ है।$e = \sqrt{3}$ दिया गया है,हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2(3 - 1) = 2a^2$ है।समीकरण में $b^2 = 2a^2$ रखने पर:$\frac{a^2(2a^2)}{a^2 + 2a^2} = 6$ $\Rightarrow \frac{2a^4}{3a^2} = 6$ $\Rightarrow \frac{2}{3}a^2 = 6$ $\Rightarrow a^2 = 9$।तब $b^2 = 2(9) = 18$,अतः $b = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$।संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b = 2(3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$ है।

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