यदि समाकलन int_{0}^{1/2} frac{x^{2}}{(1-x^{2} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) माना $I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. हम अंश को $x^{2} = (x^{2}-1) + 1$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,$I = \int_{0}^{1/2} \fr

Vedclass · Accepted Answer

$2\sqrt{3}-\pi$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. हम अंश को $x^{2} = (x^{2}-1) + 1$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,$I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}-1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx + \int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. $I = -\int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{1/2}} dx + \int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. प्रथम समाकलन के लिए,$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx = \sin^{-1}(x)$. $0$ से $1/2$ तक मान रखने पर,हमें $-[\sin^{-1}(1/2) - \sin^{-1}(0)] = -\pi/6$ प्राप्त होता है। दूसरे समाकलन के लिए,$x = \sin(	heta)$ लें,तो $dx = \cos(	heta) d	heta$. जब $x=0, 	heta=0$; जब $x=1/2, 	heta=\pi/6$. $\int_{0}^{\pi/6} \frac{\cos(	heta)}{\cos^{3}(	heta)} d	heta = \int_{0}^{\pi/6} \sec^{2}(	heta) d	heta = [	an(	heta)]_{0}^{\pi/6} = 	an(\pi/6) - 	an(0) = 1/\sqrt{3}$. इस प्रकार,$I = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\sqrt{3}-\pi}{6}$. इसकी तुलना $\frac{k}{6}$ से करने पर,हमें $k = 2\sqrt{3}-\pi$ प्राप्त होता है।

यदि समाकलन $\int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$ का मान $\frac{k}{6}$ है,तो $k$ का मान क्या होगा?

Similar Questions

यदि $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{15 x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}+\sqrt{(1+x^{2})^{3}}}} dx = \alpha \sqrt{2} + \beta \sqrt{3}$,जहाँ $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^1 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए :

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \log_e(\sin x + \cos x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin ^{4} x} d x=$

$\int_{-4}^5 \frac{1}{\sqrt{20+x-x^2}} dx=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module